Question

已知函數f（x）=ln（e^x+a）（a為常數）是實數集R上的奇函數，函數g（x）=λf（x）+sinx是區間[-1，1]上的減函數
（I）求a的值；
（II）求λ的取值范圍；
（III）若g（x）≤t²+λt+1在x∈[-1，1]上恒成立，求t的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）直接利用奇函數的定義f（-x）=-f（x）恒成立代入整理后即可求a的值；
（2）利用g′（x）=λ+cosx≤0在[-1，1]上恒成立得出λ≤-cosx再結合三角函數的性質即可求λ的取值范圍；
（3）先利用函數g（x）在[-1，1]上單調遞減，求出其最大值，再把g（x）≤t²-λt+1在x∈[-1，1]上恒成立轉化為其最大值小于等于t²-λt+1恒成立，進而得到（1-t）λ+t²+sin1+1≥0（其中λ≤-1）恒成立，再利用二次函數恒成立問題的解法即可求t出的取值范圍．

解答：解：（1）∵函數f（x）=ln（e^x+a）是實數集R上的奇函數，∴f（0）=0所以a=0．…（3分）
（2）g（x）=λf（x）+sinx是區間[-1，1]上的減函數g′（x）=λ+cosx≤0在[-1，1]上恒成立∴λ≤-cosx．…（5分）
又∵cosx∈[cos1，1]，∴-cosx∈[-1，-cos1]．∴λ≤-1．…（8分）
（3）∵g（x）在區間[-1，1]上單調遞減，∴g（x）_max=g（-1）=-λ-sin1．
只需-λ-sin1≤t²+λt+1．∴(t+1)λ+t2+sin1+1≥0.

&其中λ≤-1

恒成立．…（10分）
令h（λ）=（t+1）λ+t²+sin1+1，
則

t+1≤0 -t-1+t2+sin1+1≥0.

∴

t≤-1 t2-t+sin1≥0.

而t²-t+sin1≥0恒成立，∴t≤-1．…（13分）

點評：本題主要考查函數單調性和奇偶性以及函數恒成立問題．二次函數的恒成立問題分兩類，一是大于0恒成立須滿足開口向上，且判別式小于0，二是小于0恒成立須滿足開口向下，且判別式小于0．