Question

6．某工廠為了解用電量y與氣溫x℃之間的關系，隨機統計了5天的用電量與當天氣溫，得到如下統計表：

曰期	8月1曰	8月7日	8月14日	8月18日	8月25日
平均氣溫（℃）	33	30	32	30	25
用電量（萬度）	38	35	41	36	30

$\sum_{i=1}^{5}$x_iy_i=5446，$\sum_{i=1}^{5}$x_i²=4538，$\widehat{b}$=$\frac{\sum_{i=1}^{5}{x}_{i}{y}_{i}-5\overline{x}\overline{y}}{\sum_{i=1}^{5}{{x}_{i}}^{2}-5{\overline{x}}^{2}}$，$\widehat{a}$=$\overline{y}$-$\widehat{b}$$\overline{x}$
（1）請根據表中的數據，求出y關于x的線性回歸方程．據氣象預報9月3日的平均氣溫是 23℃，請預測9月3日的用電量；（結果保留整數）
（2）請從表中任選兩天，記用電量（萬度）超過35的天數為ξ，求ξ的概率分布列，并求其數學期望和方差．

Answer 1

分析 （1）計算$\overline{x}$、$\overline{y}$，求出回歸系數，寫出回歸方程，利用回歸方程計算x=23時$\stackrel{∧}{y}$的值即可；
（2）根據題意知ξ的可能取值，計算對應的概率值，寫出ξ的概率分布列，計算數學期望和方差．

解答 解：（1）計算$\overline{x}$=$\frac{1}{5}$×（33+30+32+30+25）=30，
$\overline{y}$=$\frac{1}{5}$×（38+35+41+36+30）=36，
又$\sum_{i=1}^{5}$x_iy_i=5446，$\sum_{i=1}^{5}$x_i²=4538，
∴回歸系數為$\widehat{b}$=$\frac{\sum_{i=1}^{5}{x}_{i}{y}_{i}-5\overline{x}\overline{y}}{\sum_{i=1}^{5}{{x}_{i}}^{2}-5{\overline{x}}^{2}}$=$\frac{5446-5×30×36}{4538-5{×30}^{2}}$=$\frac{23}{19}$，
$\widehat{a}$=$\overline{y}$-$\widehat{b}$$\overline{x}$=36-$\frac{23}{19}$×30=-$\frac{6}{19}$，
∴回歸方程為$\stackrel{∧}{y}$=$\frac{23}{19}$x-$\frac{6}{19}$；
當x=23時，$\stackrel{∧}{y}$=$\frac{23}{19}$×23-$\frac{6}{19}$=$\frac{523}{19}$≈27.53，
即預測9月3日的用電量約為28萬度；（結果保留整數）
（2）根據題意知，ξ的可能取值為0，1，2；
且P（ξ=0）=$\frac{{C}_{2}^{2}}{{C}_{5}^{2}}$=$\frac{1}{10}$，P（ξ=1）=$\frac{{{C}_{3}^{2}•C}_{2}^{1}}{{C}_{5}^{2}}$=$\frac{6}{10}$，P（ξ=2）=$\frac{{C}_{3}^{2}{•C}_{2}^{0}}{{C}_{5}^{2}}$=$\frac{3}{10}$，
所以ξ的概率分布列為

ξ	0	1	2
P	$\frac{1}{10}$	$\frac{6}{10}$	$\frac{3}{10}$

數學期望為E（ξ）=0×$\frac{1}{10}$+1×$\frac{6}{10}$+2×$\frac{3}{10}$=1.2，
方差為D（ξ）=（0-1.2）²×$\frac{1}{10}$+（1-1.2）²×$\frac{6}{10}$+（2-1.2）²×$\frac{3}{10}$=0.36．

點評 本題考查了離散型隨機變量的分布列和數學期望、方差的計算問題，是中檔題．