Question

【題目】已知函數(shù)（且）

（1）求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；

（2）當(dāng)時(shí)，設(shè)函數(shù)，函數(shù)，

①若恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

②證明：

Answer 1

【答案】（1）時(shí)函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是；時(shí)函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是;（2）①;②詳見解析．

【解析】

試題分析：（1）第一步先求，第二步討論或時(shí)，的解集；

（2）①首先得到函數(shù)，再求其導(dǎo)數(shù)，若恒成立，即，將問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最小值，利用導(dǎo)數(shù)求的最小值；

②由①知時(shí)，在上恒成立，當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，，令，累加可得結(jié)論．

試題解析：解：（1），令．

當(dāng)時(shí)，解得；當(dāng)時(shí)，解得，

所以時(shí)函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是；

時(shí)函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是

（2）①，由題意得，

因?yàn)?/span>，

所以當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；

當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；

由得，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（分離參數(shù)法亦可）．

②由（1）知時(shí)，在上恒成立，當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，

，令，累加可得

即