Question

【題目】如圖，在棱長均為的三棱柱中，平面平面，，為與的交點(diǎn)．

（1）求證：；

（2）求平面與平面所成銳二面角的余弦值．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）.

【解析】

（1）證明線垂直面，即平面，從而證明線線垂直；

（2）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，以，，所在直線分別為軸，軸，軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，求出平面與平面的法向量，再求出法向量夾角的余弦值，進(jìn)而得到二面角的余弦值.

（1）因?yàn)樗倪呅?/span>為菱形，所以，

又平面平面，平面平面，

所以平面，

因?yàn)?/span>平面，

所以.

（2）因?yàn)?/span>，所以菱形為正方形，

在中，，

在中，，，，

所以，，又，，

所以，平面；

以為坐標(biāo)原點(diǎn)，以，，所在直線分別為軸，軸，軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.

，，，，

設(shè)平面的一個(gè)法向量為平面的一個(gè)法向量為，則

令，得，

令，得，

設(shè)平面與平面所成銳二面角為，

則，

所以平面與平面所成銳二面角的余弦值為.