Question

【題目】設各項均為正數的數列的前項和為，且，（，），數列滿足（）.

（1）求數列、的通項公式；

（2）設，是的前項和，求正整數，使得對任意的，

均有；

（3）設，且，其中（，），求集合中所有元素的和.

Answer 1

【答案】（1），；（2）；（3）見解析.

【解析】

（1）①a1＝1，an2＝Sn+Sn﹣1（n∈N*，n≥2），Sn+1+Sn，相減可得：an+1+an，化簡利用已知條件及其等差數列的通項公式可得an．

②數列{bn}滿足（n∈N*）．n≥2時，b1b2…bn﹣1，相除可得bn．

（2）cn，利用求和公式與裂項求和方法可得：Tn．作差Tn+1﹣Tn，利用其單調性即可得出．

（3）x＝k1b1+k2b2+…+knbn，且x＞0，其中k1，k2，…，kn∈{﹣1，1}（n∈N*，n≥2），

①要使x＞0，則必須kn＝1．其它k1，k2，…，kn﹣1∈{﹣1，1}（n∈N*，n≥2），可任取1，﹣1．通過放縮及其求和公式即可證明．另外kn＝1．此時：x≥﹣2﹣22﹣……﹣2n﹣1+2n＞0．

②其它k1，k2，…，kn﹣1∈{﹣1，1}（n∈N*，n≥2），可任取1，﹣1．此時集合內的元素x共有2n﹣1個互不相同的正數，利用乘法原理可得：表示x的式子共有2n﹣1個．利用反證法證明這2n﹣1個式子所表示的x互不相等，再分析求解所有元素的和．

（1）①a1＝1，an2＝Sn+Sn﹣1（n∈N*，n≥2），

∴Sn+1+Sn，相減可得：an+1+an，

化為：（an+1+an）（an+1﹣an﹣1）＝0，

∵an+1+an＞0，

∴an+1﹣an＝1，

又S2+S1，可得a2﹣2＝0，a2＞0，

解得：a2＝2，

∴a2﹣a1＝1，

∴數列{an}設等差數列，an＝1+n﹣1＝n．

②數列{bn}滿足（n∈N*）．

n≥2時，b1b2…bn﹣1，

∴．

（2）cn，

∴Tn（1）．

Tn+1﹣Tn（）．

n≤3時，Tn+1≥Tn．

n≥4時，Tn+1≤Tn．

當m＝4時，使得對任意的n∈N*，均有Tm≥Tn．

（3）x＝k1b1+k2b2+…+knbn，且x＞0，其中k1，k2，…，kn∈{﹣1，1}（n∈N*，n≥2），

①要使x＞0，則必須kn＝1．其它k1，k2，…，kn﹣1∈{﹣1，1}（n∈N*，n≥2），可任取1，﹣1．

證明：若kn＝﹣1，則x＝k12+k222+…+kn﹣12n﹣1﹣kn2n≤2+22+……+2n﹣1﹣2n2n＝﹣2＜0，

此時x恒為負數，不成立．

∴kn＝1．此時：x≥﹣2﹣22﹣……﹣2n1+2n2n＝2＞0，

故k1，k2，…，kn﹣1∈{﹣1，1}（n∈N*，n≥2），可任取1，﹣1．

②其它k1，k2，…，kn﹣1∈{﹣1，1}（n∈N*，n≥2），可任取1，﹣1．

此時集合內的元素x共有2n﹣1個互不相同的正數．

證明：k1，k2，…，kn﹣1∈{﹣1，1}（n∈N*，n≥2），

利用乘法原理可得：表示x的式子共有2n﹣1個．

下面證明這2n﹣1個式子所表示的x互不相等，具體如下：

證明：假如這2n﹣1個式子所表示的x存在相等的數，

x1＝2n+kn﹣12n﹣1+……+k222+k12＝x2＝2n2n﹣1222．ki，∈{﹣1，1}（i∈N*，n﹣1≥i≥2），

即滿足ki∈{﹣1，1}（i∈N*，n﹣1≥i≥2）的第一組系數的下標數為m．

則2m2m﹣1+（）2m﹣2+……+（）2，

而|2m﹣1+（）2m﹣2+……+（）2|≤22m﹣1+22m﹣2+……+2×2＝2m+1﹣4＜|2m|＜2m+1．

因此，假設不成立，即這2n﹣1個式子所表示的x

③這2n﹣1個x互不相等的正數x（每個均含knbn＝2n）．

又ki＝1或﹣1（i＝1，2，……，n﹣1）等可能出現，因此所有kibi（i＝1，2，……，n﹣1）部分的和為0．

故集合B中所有元素的和為所有knbn＝2n的和，即2n2n﹣1＝22n﹣1．