Question

設(shè)x，y∈R，且滿足

(x-2)3+2x+sin(x-2)=2 (y-2)3+2y+sin(y-2)=6

，則x+y=（　　）

• A、1
• B、2
• C、3
• D、4

Answer 1

分析：根據(jù)條件，構(gòu)造函數(shù)f（t）=t³+2t+sint，利用函數(shù)f（t）的奇偶性和單調(diào)性解方程即可．

解答：解：∵（x-2）³+2x+sin（x-2）=2，
∴（x-2）³+2（x-2）+sin（x-2）=2-4=-2，
∵（y-2）³+2y+sin（y-2）=6，
∴（y-2）³+2（y-2）+sin（y-2）=6-4=2，
設(shè)f（t）=t³+2t+sint，
則f（t）為奇函數(shù)，且f'（t）=3t²+2+cost＞0，
即函數(shù)f（t）單調(diào)遞增．
由題意可知f（x-2）=2，f（y-2）=-2，
即f（x-2）+f（y-2）=2-2=0，
即f（x-2）=-f（y-2）=f（2-y），
∵函數(shù)f（t）單調(diào)遞增
∴x-2=2-y，
即x+y=4，
故選：D．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)奇偶性的應(yīng)用，利用條件構(gòu)造函數(shù)f（t）是解決本題的關(guān)鍵，綜合考查了函數(shù)的性質(zhì)．