Question

已知函數．
（I）求函數f（x）的最小正周期和單調遞增區間；
（II）將函數y=f（x）的圖象上各點的縱坐標保持不變，橫坐標縮短到原來的，再把所得到的圖象向左平移個單位長度，得到函數y=g（x）的圖象，求函數y=g（x）在區間上的值域．

Answer 1

【答案】分析：（I）f（x）解析式第一項利用二倍角的正弦哈斯公式化簡，后兩項變形后利用二倍角的余弦函數公式化簡，再利用兩角和與差的正弦函數公式化為一個角的正弦函數，找出ω的值代入周期公式即可求出函數的最小正周期，根據正弦函數的單調遞增區間即可得到f（x）的遞增區間；
（II）由第一問確定的f（x）解析式，利用平移規律得到平移后的函數解析式g（x），由x的范圍求出4x的范圍，求出g（x）的最小值與最大值，即可得出g（x）的值域．
解答：解：（I）∵f（x）=2sinxcosx+2sin²x-1=sin2x-cos2x=2sin（2x-），
∴函數f（x）的最小正周期為T=π；
由-+2kπ≤2x-≤+2kπ，k∈Z，
解得：-+kπ≤≤+kπ，k∈Z，
則f（x）的單調遞增區間為[-+kπ，+kπ]，k∈Z；
（II）函數y=f（x）的圖象上各點的縱坐標保持不變，橫坐標縮短到原來的，
得到y=2sin（4x-），
再把所得的圖象向左平移個單位得到g（x）=2cos4x，
當x∈[-，]時，4x∈[-，]，
∴當x=0時，g（x）_max=2；當x=-時，g（x）_min=-1，
∴y=g（x）在區間[-，]上的值域為[-1，2]．
點評：此題考查了兩角和與差的正弦函數公式，二倍角的正弦、余弦函數公式，正弦函數的單調性，余弦函數的定義域與值域，以及平移規律，熟練掌握公式是解本題的關鍵．