Question

已知圓為ΔABC的內切園，且BC中點為（1，-1），BC∥x軸。⑴求ΔABC頂點A的軌跡方程。⑵求|BC|的范圍。⑶試問ΔABC的面積是否存在最小值？請證明你的判斷。

Answer 1

(Ⅰ) x+y="1(x<0)   " (Ⅱ) （，+∞）  （Ⅲ）有最小值

⑴設A（m,n），過A的園的切線y-n="k(x-m) " 即kx-y+n-km=0
則，即（m²-1）k²-2mnk+n²-1="0 " Δ>0得m²+n²>1   ①
設此方程兩解k₁=k_AB  k₂=k_AC 則   ②
另一方面BC：y="-1 " 由AB：y-n=k₁(x-m)    AC：y-n=k₂(x-m)
解得：
由于BC中點為（1，-1）,∴
即，把②代入得：
即：得m+n="1 " 由①及⊙O為ΔABC內切園知，A的軌跡方程為x+y="1(x<0) " （6分）
⑵由⑴知n>1,m<0 
  （8分）

∴BC的范圍為（，+∞）     （10分）
⑶存在易知，令t="n-1>0 " n=t+1
 （12分）
證法1：再令，則 上增函數。
易知 ∴內恰有一解，設此解為x₀，即由是增函數，則為減函數。
是增函數。
存在最小值，即ΔABC面積有最小值。    （14分）
證法2：
易知為減函數。為增函數
有最小值，∴ΔABC面積有最小值