Question

已知二次函數的對稱軸為x=-,截x軸上的弦長為4，且過點（0，-1），求二次函數的解析式.

Answer 1

解法一：設二次函數解析式為y=ax²+bx+c,

依題意有x=-=-.                                                             ①

圖象過點（0，-1），則有c=-1.                                                    ②

又截軸的弦長為4，設ax²+bx+c=0的兩根為x₁、x₂,由韋達定理有

|x₁-x₂|==4.                      ③

由①②③式聯立解得a=,b=，c=-1.

∴二次函數解析式為

y=x²+x-1.

解法二：設y=a(x+)²+m,由條件得

-1=2a+m.                                                                               ①

弦長為4,令y=0,(x+)²=-,

則有x=-±.

由|x₁-x₂|=4,

∴2=4.                                                                         ②

聯立①②式解得a=,m=-2.

∴二次函數解析式為

y=(x+)²-2.

解法三：∵對稱軸為x=-,又截x軸的弦長為4，則圖象與x軸的交點為x₁=-2-,x₂=2-.

設二次函數為y=a(x+2+)(x-2+),

又（0，-1）在圖象上，則有-1=a(2+)(-2+).

∴a=,二次函數解析式為y=x²+x-1.