Question

雙曲線=1(a＞1,b＞0)的焦距為2c,直線l過點(a,0)和(0,b),且點(1，0)到直線l的距離與點(-1，0)到直線l的距離之和s≥c.求雙曲線的離心率e的取值范圍.

Answer 1

解：直線l的方程為=1,即bx+ay-ab=0.

由點到直線的距離公式，且a＞1,得到點(1，0)到直線l的距離d₁=.

同理得到點(-1，0)到直線l的距離：

d₂=,s=d₁+d₂=.

由s≥c,得

即5a≥2c².于是得5≥2e²,

即4e⁴-25e²+25≤0.

解不等式，得≤e²≤5.

由于e＞1＞0,

所以e的取值范圍是≤e≤.

溫馨提示

本題通過構造法來求離心率的取值范圍，考查了不等式的數學思想，點到直線的距離公式，雙曲線的基本性質，以及綜合運算能力.