Question

(本題滿分14分)

在梯形ABCD中，AB⊥AD,AB∥CD,A、B是兩個定點，其坐

標分別為（0，－1）、（0，1），C、D是兩個動點，且滿足|CD|=|BC|.

(1)求動點C的軌跡E的方程；

(2)試探究在軌跡E上是否存在一點P？使得P到直線y＝x－2的

距離最短；

(3)設軌跡E與直線所圍成的圖形的

面積為S,試求S的最大值。

其它解法請參照給分。

Answer 1

(1) x²＝4y（x≠0，x≠）   (3)

解析:

(1) 解法1：依題意知，CD⊥AD,且|CD|=|BC|.依拋物線的定義可知點C的軌跡是以B為焦點，以AD為準線的拋物線除去頂點和與直線y＝1的交點。---2分∵|OB|=1  ∴C的軌跡E的方程為x²＝4y（x≠0，x≠）--4分

解法2：設C(x，y)則|CD|=y+1,|CB|=,

又|CD|=|BC|. ，化簡得：x²＝4y（x≠0，x≠）

(2)解法1：設P（x，y）是軌跡E上一點，則P到直線y＝x－2的距離

 

       當x＝2時，d取得最小值，這時x＝2，y＝1， ---------------------7分

     即點P(2,1).但由(Ⅰ)知點（2，1）不在軌跡E上，∴在軌跡E上這樣的點P不存在。--8分

解法2：所求點即與直線y＝x－2平行的軌跡E的切線與E的切點，

由得， ，∴，

下同解法1。

解法3：設與直線y＝x－2 平行，與拋物線E相切的直線為

x－y＋m＝0，由方程組

  有一解得方程 有兩個相等的實根

∴    ∴m＝－1從而得方程組的解為，下同上.

(3)    ∵－2<a<0 ∴ 0<a+2<2

根據圖形結合定積分的幾何意義可得：

 ----------------------------11分

 ----------------------------13分

當時， ------------- --------------14分