Question

標準正態分布的概率密度函數是P(x)=·(x∈R).
（1）求證：P（x）是偶函數；
（2）求P（x）的最大值；
（3）利用指數函數的性質說明P（x）的增減性.

Answer 1

（1）證明略（2）（3）當x＜0時，P(x)遞增.當x＞0時，P（x）遞減.

（1）證明 對任意x∈R，有P(-x)=
==P(x),∴P(x）為偶函數.
（2）解 令t=,當x=0時，t=0,e^t=1.
∵e^t是關于t的增函數，當x≠0時，t＞0，e^t＞1.
∴當x=0，即t=0時，=e^t取最小值.
∴當x=0時，P（x）=取得最大值.
(3)解 任取x₁＜0，x₂＜0，且x₁＜x₂,
有＞,∴＜.
∴P(x₁)＜P(x₂),即當x＜0時，P(x)遞增.
又P(x)為偶函數，由偶函數性質得，當x＞0時，P（x）遞減.