Question

【題目】如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為直角梯形，BC//A，為正三角形，M為PD中點.

（1）證明:CM//平面PAB；

（2）若二面角P-AB-C的余弦值為，求直線AD與平面PBD所成角的正弦值.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）.

【解析】

（1）根據題意，取的中點為，連接，，利用中點可得平面平面，進而可得結論；

（2）根據題意，取的中點，連接，，，計算可得，進而可得平面，建立坐標系，利用空間向量計算即可.

（1）證明：取的中點為，連接，，如圖：

由題意，為直角梯形，，，為中點，

∴，，

又，，

∴平面平面，而平面，平面，

故平面.

（2）由題意，取的中點，連接，，，如圖：

因為等腰直角三角形，為正三角形，則，，即平面，即即二面角的平面角為，則，又，則，，由余弦定理可得，則，即，而，所以，平面，由為直角梯形，

所以，以分別為軸建立空間直角坐標系，則，，，，則，，

設平面的一個法向量為，

由，即，取，所以，

所以，平面的一個法向量為，

所以，

即直線與平面所成的正弦值為.