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過點（0，4）的直線與雙曲線

=1的右支交于A，B兩點，則直線AB的斜率k的取值范圍是（　　）

A．(

，

)

B．(-

，-

)

C．(

，+∞)∪(-∞，-

)

D．(-

，-

)∪(

，

)

分析：如圖：設過點（0，4）且與雙曲線相切的直線為 l₁，過點（0，4）且與漸近線y=-

x平行的直線為l₂．則直線AB的斜率k 應大于l₁的斜率且小于l₂的斜率．把直線 l₁ 的方程代入雙曲線的方程化簡，由△=0，解得l₁的斜率為 -

，從而得到斜率k 的范圍．

解答：解：如圖所示：過點（0，4）且與雙曲線相切的直線為 l₁，過點（0，4）且與漸近線y=-

x平行的直線為l₂．
則直線AB的斜率k 應大于l₁的斜率且小于l₂的斜率．
設直線 l₁ 的方程為y-4=k′（x-0），代入雙曲線的方程化簡得（3-k²） x²-8kx-28-0．
由題意可得判別式△=0，解得 k′=-

，或 k′=

（舍去）．
而l₂的斜率等于-

，故直線AB的斜率k滿足 -

＜k＜-

．
故選：B．

點評：本題主要考查雙曲線的標準方程，以及雙曲線的簡單性質的應用，體現了數形結合的數學思想，判斷直線AB的斜率k 應大于l₁的斜率且小于l₂的斜率，是解題的關鍵．

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．

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（3）是否存在過點（0，-2）的直線l₂與橢圓C相交于A、B兩點，使以AB為直徑的圓過點O（O是坐標原點），若存在，求直線l₂的方程；若不存在，說明理由．