Question

把函數y=sin2x的圖象沿 x軸向左平移

π

6

個單位，縱坐標伸長到原來的2倍（橫坐標不變）后得到函數y=f（x）圖象，對于函數y=f（x）有以下四個判斷：
①該函數的解析式為y=2sin（2x+

π

6

）；  
②該函數圖象關于點（

π

3

，0）對稱；　
③該函數在[0，

π

6

]上是增函數；
④函數y=f（x）+a在[0，

π

2

]上的最小值為

3

，則a=2

3

．
其中，正確判斷的序號是

②④

．

Answer 1

分析：根據函數y=Asin（ωx+∅）的圖象變換規律求得f（x）=2sin（2x+

π

3

），由此可得①不正確．求出函數的對稱中心為（

kπ

2

-

π

6

，0），可得②正確．
求出函數的單調增區間為[kπ-

5π

12

，kπ+

π

12

]，k∈z，可得③不正確．由于當x∈[0，

π

2

]時，求得f（x）+a的最小值為-

3

+a=

3

，可得a的值，可得④正確．

解答：解：把函數y=sin2x的圖象沿 x軸向左平移

π

6

個單位，縱坐標伸長到原來的2倍（橫坐標不變）后，得到函數y=f（x）=2sin2（x+

π

6

）=2sin（2x+

π

3

）的圖象，
由于f（x）=2sin（2x+

π

3

），故①不正確．
令2x+

π

3

=kπ，k∈z，求得 x=

kπ

2

-

π

6

，k∈z，故函數的圖象關于點（

kπ

2

-

π

6

，0）對稱，故函數的圖象關于點（

π

3

，0）對稱，故②正確．
令2kπ-

π

2

≤2x+

π

3

≤2kπ+

π

2

，k∈z，可得 kπ-

5π

12

≤x≤kπ+

π

12

，k∈z，故函數的增區間為[kπ-

5π

12

，kπ+

π

12

]，k∈z，
故函數在[0，

π

6

]上不是增函數，故 ③不正確．
當x∈[0，

π

2

]時，2x+

π

3

∈[

π

3

，

4π

3

]，故當2x+

π

3

=

4π

3

時，f（x）取得最小值為-

3

，函數y=f（x）+a取得最小值為-

3

+a=

3

，
故a=-2

3

，故④正確．
故答案為 ②④．

點評：本題主要考查函數y=Asin（ωx+∅）的圖象變換規律，復合三角函數的單調性、對稱性，正弦函數的定義域和值域，屬于中檔題．