Question

【題目】已知圓C的圓心在x軸正半軸上，半徑為5，且與直線相切．

(1)求圓C的方程；

(2)設點，過點作直線與圓C交于兩點，若，求直線的方程；

(3)設P是直線上的點，過P點作圓C的切線，切點為求證：經過 三點的圓必過定點，并求出所有定點的坐標．

Answer 1

【答案】(1) (2) 或；(3) 見證明

【解析】

（1）設圓心，由直線和圓相切可得：，利用點到直線距離公式即可求得，問題得解。

（2）若直線的斜率不存在，即：，檢驗得：成立，若直線的斜率存在，可設直線：，由圓的弦長計算公式可得：，即可求得，問題得解。

（3）設，由題可得：經過，，的三點的圓是以為直徑的圓，即可求得該圓的方程為：，列方程即可求得定點的坐標為，，問題得解。

（1）解：設圓心，圓心到直線的距離為

則由直線和圓相切可得：，

可得，解得（負值舍去），

即圓的方程為；

（2）解：若直線的斜率不存在，即：，

代入圓的方程可得，，即有，成立；

若直線的斜率存在，可設直線：，

即為，

圓到直線的距離為，

由，即有，

解得，即，解得，則直線的方程為，

所以的方程為或；

（3）證明：由于是直線上的點，

設，

由切線的性質可得，

經過，，的三點的圓是以為直徑的圓，

則方程為，

整理可得，

令，且.

解得或.

則有經過，，三點的圓必過定點，所有定點的坐標為，.