Question

已知函數f（x）=ln（

1

2

+

1

2

ax）+x²-ax （a為常數，a＞0）
（1）當a=1時，求函數f（x）在x=1處的切線方程；
（2）當y=f（x）在x=

1

2

處取得極值時，若關于x的方程f（x）-b=0在[0，2]上恰有兩個不相等的實數根，求實數b的取值范圍；
（3）若對任意的a∈（1，2），總存在x₀∈[

1

2

，1]，使不等式f（x₀）＞m（a²+2a-3）成立，求實數m的取值范圍．

Answer 1

（1）a=1時，f(x)=ln(

1

2

+

1

2

x)+x2-x，
∴f′(x)=

1

1+x

+2x-1，于是f′(1)=

3

2

，
又f（1）=0，即切點為（1，0），
∴切線方程為y=

3

2

(x-1)；
（2）f′(x)=

a

1+ax

+2x-a，f′(

1

2

)=

a

1+ 1 2 a

+1-a=0，即a²-a-2=0，
∵a＞0，∴a=2，
此時，f′(x)=

2x(2x-1)

1+2x

，∴x∈[0，

1

2

]上遞減，[

1

2

，2]上遞增，
又f(0)=ln

1

2

，f(

1

2

)=-

3

4

，f(2)=ln

5

2

，
∴-

3

4

＜b≤ln

1

2

；
（3）f′（x）=

a

1+ax

+2x-a=

2ax2+(2-a2)x

1+ax

=

x[2ax-(a2-2)]

1+ax

，
∵1＜a＜2，∴

a2-2

2a

-

1

2

=

(a-2)(a+1)

2a

＜0，即

a2-2

2a

＜

1

2

，
∴f（x）在[

1

2

，2]上遞增，∴f（x）_max=f（1）=ln（

1

2

+

1

2

a）+1-a，
問題等價于對任意的a∈（1，2），不等式ln（

1

2

+

1

2

a）+1-a＞m（a²+2a-3）成立，
設h（a）=ln（

1

2

+

1

2

a）+1-a-m（a²+2a-3）（1＜a＜2），
則h′（a）=

1

1+a

-1-2ma-2m=

-2ma2-(4m+1)a-2m

a+1

，
又h（1）=0，∴h（a）在1右側需先增，∴h′（1）≥0，m≤-

1

8

，
設g（a）=-2ma²-（4m+1）a-2m，對稱軸a=-1-

1

4m

≤1，
又-2m＞0，g（1）=-8m-1≥0，
所以在（1，2）上，g（a）＞0，即h′（a）＞0，
∴h（a）在（1，2）上單調遞增，h（a）＞h（1）=0，即ln（

1

2

+

1

2

a）+1-a＞m（a²+2a-3），
于是，對任意的a∈（1，2），總存在x₀∈[

1

2

，1]，使不等式f（x₀）＞m（a²+2a-3）成立，
m≤-

1

8

．