Question

在棱長為4的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，O是正方形A₁B₁C₁D₁的中心，點P在棱CC₁上，且CC₁=4CP．求點P到平面ABD₁的距離；

Answer 1

分析：方法一：如果直接研究三棱錐P-ABD₁的體積，無論怎樣“轉換”都不易求可利用等體積法進行求解，在DD₁上取一點Q，使DD₁=4DQ，根據V_P-ABD1=V_Q-ABD1建立等式關系，求出所求即可；
方法二：以D為原點，DA為x軸，DC為y軸，DD1為z軸，建立空間直角坐標系，求出面ABD₁的法向量

?

n

，然后求出

.

PB

在面ABD₁的法向量

?

n

上的射影即可；
方法三：“補齊”截面ABD₁即正方體的對角面ABC₁D₁，過P作PE⊥BC₁于E，根據線面垂直的性質可知PE的長度即為點P到平面ABD₁的距離，最后求出PE的長即可．

解答：解：方法一：“等積轉換”．
如果直接研究三棱錐P-ABD₁的體積，無論怎樣“轉換”都不易求；
在DD₁上取一點Q，使DD₁=4DQ，則PQ∥面ABD₁，如圖1；故V_P-ABD1=V_Q-ABD1，
記P到面ABD₁的距離為h，則Q到面ABD₁的距離為h，由V_Q-ABD1=V_B-QAD1得：h=

3 2

2

；
方法二：以D為原點建系，如圖2，A（4，0，0），B（4，4，0），D₁（0，0，4），
P（0，4，1），不難求出面ABD₁的法向量

?

n

=（1，0，1），

.

PB

=（4，0，-1），h=

3

2

=

3 2

2

；
方法三：“補齊”截面ABD₁即正方體的對角面ABC₁D₁，過P作PE⊥BC₁于E，如圖3，
∵PE⊥AB，∴PE⊥面ABD₁，∴PE的長度即為點P到平面ABD₁的距離，易求PE=

3 2

2

．

點評：本題主要考查了點到平面的距離的求解，以及等體積法的應用等有關知識，考查空間想象能力和思維能力，應用向量知識解決立體幾何問題的能力．