【題目】某校興趣小組在如圖所示的矩形區域
內舉行機器人攔截挑戰賽，在
處按
方向釋放機器人甲，同時在
處按某方向釋放機器人乙，設機器人乙在
處成功攔截機器人甲，若點在矩形區城內(包含邊界)，則挑戰成功，否則挑戰失敗，已知
米，為
中點，機器人乙的速度是機器人甲的速度的2倍，比賽中兩機器人均按勻速直線遠動方式行進.
（1）如圖建系，求的軌跡方程；
（2）記與
的夾角為
，
，如何設計
的長度，才能確保無論的值為多少，總可以通過設置機器人乙的釋放角度使之挑戰成功？
（3）若與的夾角為
，足夠長，則如何設置機器人乙的釋放角度，才能挑戰成功？
【答案】（1）
；（2）
；（3）
.
【解析】
（1）先設
（
），由題意得到
，
，
，列出等量關系，化簡整理，即可得出結果；
（2）由（1）的結果，得到點
的軌跡是以
為圓心，以
為半徑的上半圓在矩形區域
內的部分，進而可得出結果；
（3）根據題意得到，
，根據正弦定理求出
，進而可求出結果.
（1）設（），由題意可得：，，
又機器人乙的速度是機器人甲的速度的2倍，比賽中兩機器人均按勻速直線遠動方式行進，
所以，
即
，整理得：（）；
（2）由（1）知，點的軌跡是以為圓心，以為半徑的上半圓在矩形區域內的部分，
所以當時，就能確保無論
的值為多少，總可以通過設置機器人乙的釋放角度使之挑戰成功；
（3）由題意，在
中，，，
由正弦定理得：
，
所以，因此
，
即應在矩形區域內，按照與
方向夾角為的方向釋放機器人乙，才能挑戰成功.
名校課堂系列答案科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】為了預防流感，某學校對教室用藥熏消毒法進行消毒.已知藥物釋放過程中，室內每立方米空氣的含藥量
（毫克）與時間
（小時）成正比.藥物釋放完畢后，與的函數關系式為
（
為常數），如圖所示，根據圖中提供的信息，回答下列問題：
（1）求從藥物釋放開始，每立方米空氣中的含藥量（毫克）與時間（小時）之間的函數關系式；
（2）據測定，當空氣中每立方米空氣的含藥量降到0．25毫克以下時，學生方可進教室，那從藥物釋放開始，至少需要經過多少小時后，學生才能回到進教室？
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】定義：如果數列
的任意連續三項均能構成一個三角形的三邊長，則稱為三角形”數列對于“三角形”數列，如果函數
使得
仍為一個三角形”數列，則稱是數列的“保三角形函數”
．
（1）已知是首項為2，公差為1的等差數列，若
，
是數列的保三角形函數”，求
的取值范圍；
（2）已知數列
的首項為2019，
是數列的前
項和，且滿足
，證明是“三角形”數列；
（3）求證：函數
，
是數列1，
，
的“保三角形函數”的充要條件是
，
．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，已知直線
和直線
，射線
的一個法向量為
，點
為坐標原點，
，
，點
、
分別是直線
、
上的動點，直線和之間的距離為2，
于點
，
于點
；
（1）若
，求
的值；
（2）若
，求
的最大值；
（3）若
，
，求
的最小值.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】現對一塊邊長8米的正方形場地ABCD進行改造，點E為線段BC的中點，點F在線段CD或AD上（異于A，C），設
（米），
的面積記為
（平方米），其余部分面積記為
（平方米）.
（1）當
（米）時，求
的值；
（2）求函數的最大值；
（3）該場地中部分改造費用為
（萬元），其余部分改造費用為
（萬元），記總的改造費用為W（萬元），求W取最小值時x的值.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，邊長為4的正方形
中，半徑為1的動圓Q的圓心Q在邊CD和DA上移動（包含端點A,C,D），P是圓Q上及其內部的動點，設，
則
的取值范圍是_____________.
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