Question

正三角形的一個頂點位于坐標原點，另外兩個頂點在拋物線y²=2px（p＞0）上，求這個正三角形的邊長．

Answer 1

分析：根據拋物線的對稱性可知，若正三角形的一個頂點位于坐標原點，另外兩個頂點在拋物線y²=2px（p＞0）上，則另外兩個定點關于x軸對稱，就可的直線OA的傾斜角，據此求出直線OA的方程，與拋物線方程聯立解出A點坐標，就可求出正三角形的邊長．

解答：解：∵拋物線y²=2px關于x軸對稱，
∴若正三角形的一個頂點位于坐標原點，另外兩個頂點在拋物線y²=2px（p＞0）上，
則A，B點關于x軸對稱，
∴直線OA傾斜角為30•斜率為

3

3

∴直線OA方程為y=

3

3

x，
由

y= 3 3 x y2=2px

得，

x=6p y=2 3 p

∴A（6p，2

3

p），則B（6p，-2

3

p），
∴|AB|=4

3

p
∴這個正三角形的邊長為4

3

p

點評：本題主要考查了拋物線的對稱性，直線方程的點斜式，以及曲線交點的求法，屬于圓錐曲線的綜合題．