Question

已知橢圓C:的離心率為，以原點為圓心，橢圓的短半軸長為半徑的圓與直線相切。
（1）求橢圓C的方程；
（2）若過點M(2，0)的直線與橢圓C交于兩點A和B，設P為橢圓上一點，且滿足·（O為坐標原點），當 時，求實數t取值范圍。

Answer 1

（1）；（2）

解析試題分析：（1）利用圓心到直線的距離等于短半軸長及離心率為建立方程，解方程即可求出橢圓C的方程；（2）可以設直線：與橢圓方程聯立，得到方程，然后結合題目條件滿足·（O為坐標原點），，利用判別式及韋達定理建立不等式，可以求出t的取值范圍.
試題解析：(Ⅰ) 由題意知，短半軸長為：，     1分
∵，∴，
即，∴，                               2分
故橢圓的方程為：.                    3分
（2）由題意知，直線的斜率存在，設直線：，  4分
設，，，
由得，.    5分
，解得.       6分
.
∵，∴，解得，.                 7分
∵點在橢圓上，∴，
∴.                             8分
∵，∴，
∴，∴，
∴，∴                10分
∴，∵，∴，
∴或，
∴實數取值范圍為.            12分
考點：（1）橢圓的標準方程；（2）向量在解析幾何在的應用；（3）直線與圓錐曲線的問題.