Question

【題目】已知函數 ；
（1）若函數 在 上為增函數，求正實數 的取值范圍；
（2）當 時，求函數 在 上的最值；
（3）當 時，對大于1的任意正整數 ，試比較 與 的大小關系．

Answer 1

【答案】
（1）解：因為 ，所以

因為函數 在 上為增函數，所以 對 恒成立，

所以 對 恒成立，即 對 恒成立，所以

（2）解：當 時， ，所以當 時， ，故 在 上單調遞減；當 ， ，故 在 上單調遞增，所以 在區間 上有唯一極小值點，故 ，又 ， ，，

因為 ，所以 ，即

所以 在區間 上的最大值是

綜上可知，函數 在區間 上的最大值是 ，最小值是0

（3）解：當 時， ， ，故 在 上為增函數.

當 時，令 ，則 ，故

所以 ，即 >

當a=1時，對大于1的任意正整數 ，有 >

【解析】(1)根據題意結合已知條件求出原函數的導函數利用導函數在指定區間上的正負情況得出原函數的增減性即可。(2)把a的值代入求出原函數的導函數并判斷出其正負得到原函數的單調性，進而求出 f ( x ) 在區間 [ , 2 ) 上有唯一極小值點，代入數值求出結果即可得到最大值。(3)求出函數的導數得出函數的單調性，令x=得到 f ( x ) > f ( 1 ) = 0，從而證出結論。