Question

【題目】在直三棱柱中， ， ， 是的中點(diǎn).

（1）求證： 平面；

（2）求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）.

【解析】試題分析: (1)第(1)問(wèn), 連接，交于點(diǎn)，連結(jié)，證明即得平面 . (2)第(2)問(wèn), 以為坐標(biāo)原點(diǎn)，以為軸，以為軸，以過(guò)點(diǎn)垂直于的直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求二面角的余弦值.

試題解析:

（1）連接，交于點(diǎn)，連結(jié)，

∵在直三棱柱中， ，

∴是正方形，∴是的中點(diǎn)，

∵是的中點(diǎn)，∴是的中位線，∴，

∵不包含于平面， 平面，

∴平面.

（2）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，以為軸，以為軸，

以過(guò)點(diǎn)垂直于的直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，

∵， ， 是的中點(diǎn)，

∴， ， ， ，

∴， ， ，

設(shè)平面的法向量，則， ，

∴，∴，

設(shè)平面的法向量，則， ，

∴，∴，

設(shè)二面角的平面角為，

.∴二面角的余弦值為.