Question

已知數列{a_n}中a₁＝2，a_n+1＝(－1)( a_n＋2)，n＝1，2，3，….（Ⅰ）求{a_n}的通項公式；（Ⅱ）若數列{a_n}中b₁＝2，b_n+1＝，n＝1，2，3，….證明：＜b_n≤a_4n-3，n＝1，2，3，…

Answer 1

(Ⅰ) a_n＝[(－1)ⁿ＋1]  (Ⅱ)見解析

（Ⅰ）由題設：a_n+1＝(－1)(a_n＋2)＝(－1)(a_n－)＋(－1)(2＋)，
＝(－1)(a_n－)＋，∴a_n+1－＝(－1)(a_n－)．
所以，數列{a_n－}a是首項為2－，公比為－1)的等比數列，a_n－＝(－1)ⁿ，
即a_n的通項公式為a_n＝[(－1)ⁿ＋1]，n＝1，2，3，….
（Ⅱ）用數學歸納法證明．
（ⅰ）當n＝1時，因＜2，b₁＝a₁＝2，所以＜b₁≤a₁，結論成立．
（ⅱ）假設當n＝k時，結論成立，即＜b_k≤a_4k-3，，也即0＜b_n－≤a_4k-3－，
當n＝k＋1時，b_k+1－＝－＝＝＞0，
又＜＝3－2，所以b_k+1－＝＜(3－2)²(b_k－)≤(－1)⁴(a_4k-3－)＝a_4k+1－也就是說，當n＝k＋1時，結論成立．
根據（ⅰ）和（ⅱ）知＜b_n≤a_4n-3，n＝1，2，3，….