Question

已知函數f(x)=e^x(e是自然對數的底數)的圖像為曲線C₁，函數g(x)=ax的圖像為曲線C₂．

(1)若曲線C₁與C₂沒有公共點，求滿足條件的實數a組成的集合A；

(2)當a∈A時，平移曲線C₂得到曲線C₃，使得曲線C₃與曲線C₁相交于不同的兩點P₁(x₁，y₁)，P₂(x₂，y₂)，求證：a＞f′()．

Answer 1

解：(1)因為曲線C₁與C₂沒有公共點，則必有a＞0，且曲線C₁在曲線C₂的上方．

令h(x)=e^x-ax，則h′(x)=e^x-a，

令h′(x)=0得x=lna，

當x＜lna時，有h′(x)＜0，則h(x)在(-∞，lna)上為減函數；

當x＞lna時，有h′(x)＞0，則h(x)在(lnA，+∞)上為增函數．

所以當x=lna時有h(x)_min=h(lna)=a-alna＞0，即0＜a＜e，所以滿足條件的實數a組成的集合A=(0，1)． 

(2)不等式等價于，即．

令x₂-x₁=2t，則t＞0，＞0．

令φ(t)=e^2t-2te^t-1，則

φ′(t)=2e^2t-2te^t-2e^t=2e^t(e^t-t-1)．

令ω(t)=e^t-t-1，則ω′(t)=e^t-1＞0，

所以ω(t)=e^t-t-1在(0，+∞)上為增函數，

故ω(t)＞ω(0)=0，所以φ′(t)＞0，

故φ(t)=e^2t-2te^t-1在(0，+∞)上為增函數，

所以φ(t)＞φ(0)=0，

即e2^t-2te^t-1＞0，所以原不等式成立.