Question

【題目】已知f(x)＝x2－2ax＋2(a∈R)，當x∈[－1，＋∞)時，恒成立，則a的取值范圍是_________．

Answer 1

【答案】.

【解析】試題分析：g(x)＝x2－2ax＋2－a，根據對稱軸與定義區間位置關系分類討論：當時， ；當時， ；解不等式，再求并集得a的取值范圍．

試題解析：解：法一：f(x)＝(x－a)2＋2－a2，此二次函數圖象的對稱軸為x＝a.

①當a∈(－∞，－1)時，f(x)在[－1，＋∞)上單調遞增，

f(x)min＝f(－1)＝2a＋3.

要使f(x)≥a恒成立，只需f(x)min≥a，

即2a＋3≥a，解得－3≤a＜－1；

②當a∈[－1，＋∞，)時，f(x)min＝f(a)＝2－a2，

由2－a2≥a，解得－1≤a≤1.

綜上所述，所求a的取值范圍為－3≤a≤1.

法二：令g(x)＝x2－2ax＋2－a，由已知，得

x2－2ax＋2－a≥0在[－1，＋∞)上恒成立，

即Δ＝4a2－4(2－a)≤0或

解得－3≤a≤1.