Question

本小題滿分13分）
已知圓，△ABC內接于此圓，A點的坐標(3,4)，O為坐標原點．
(Ⅰ)若△ABC的重心是G(,2),求BC中點D的坐標及直線BC的方程；
(Ⅱ)若直線AB與直線AC的傾斜角互補，求證：直線BC的斜率為定值.

Answer 1

(Ⅰ) x+y-2=0．  (Ⅱ)。

試題分析：（1）要求三角形頂點的坐標，可先將它們的坐標設出來，根據重心的性質，我們不難求出BC邊上中點D的坐標，及BC所在直線的斜率，代入直線的點斜式方程即可求出答案．
（2）若直線AB與直線AC的傾斜角互補，則他們的斜率互為相反數，又由他們都經過A點，則可以設出他們的點斜式方程，代入圓方程后，求出BC兩點的坐標，代入斜率公式，即可求證出正確的結論。
解：(Ⅰ)設B(x₁,y₁),C(x₂,y₂) 由題意可得：
 
,  ∴ BC中點的坐標為（1,1）,
又B、C在已知圓上 ，故有：
   
相減得：
∴
∴直線BC的方程為y-1=-(x-1)，即x+y-2=0． …………………………6分
(Ⅱ)設AB：y=k(x-3)+4，代入圓的方程整理得：

∵3，x₁是上述方程的兩根

同理可得：

．       ……………13
點評：解決該試題的關鍵是根據三角形重心的坐標是三角形三個頂點坐標的平均數，由重心坐標及任意兩頂點的坐標，構造方程易求第三個頂點的坐標；已知三個頂點的坐標，代入重心坐標公式，即得重心坐標；如果已知重心坐標和其中一個頂點的坐標，則我們只能求出該頂點對邊上中點的坐標．