Question

如圖,四棱錐P-ABCD中,底面ABCD為正方形,DA⊥面ABP,AB=1,PA=2,∠PAB=60⁰，E為PA的中點,F為PC上不同于P、C的任意一點.
(1)求證:PC∥面EBD
(2)求異面直線AC與PB間的距離
(3)求三棱錐E-BDF的體積.

Answer 1

(1)見解析
(2)
(3)

（1）設AC交BD于M，連接ME

∵面ABCD為正方形，∴M為AC的中點
又E為PA的中點，∴ME∥PC
∵ME面EBD，∴PC∥面EBD
（2）∵面ABCD為正方形, ∴BD⊥AC
∵AB=1,PA=2,∠PAB=60⁰,∴在△PAB中,由余弦定理得
PB²=PA²+AB²-2AB·PAcos60⁰=4+1-2×1×2×=3
∴PA²=PB²+AB²,即AB⊥PB
∵DA⊥面ABP,CB∥DA
∴CB⊥面ABPCB⊥PB ,∴PB⊥面ABCD,∴PB⊥MB,即MB為異面直線AC與PB間的垂線段
∵DB=
∴異面直線AC與PB間的距離為
（3）由（2）知，PB、BC、AB兩兩互相垂直.如圖建立空間直角坐標系,

則A(0,1,0),P(,0,0),C(0,0,1),D(0,1,1)
∵E為PA的中點,∴E(,,0)
設面BED的法向量為n=(a,b,c)
則
令c=,則b=-,a=1n=(1,-,)
由（1）知，PC∥面EBD，所以C點到面EBD的距離與F點到面EBD的距離相等.
設向量n與向量所成的角為
則cos==
設C點到面EBD的距離為d
則d=DC×cos=
由題設條件可求得DE=DB=，BE=1
∴S_△DEB=×1×=
∴V_E-BDF=V_F-EBD=V_C-EBD=××=