Question

【題目】已知函數.

（1）當時,求函數的單調區間和極值；

（2）若恒成立；求實數的值.

Answer 1

【答案】（1）函數的減區間為,增區間為,極小值為,無極大值；（2）．

【解析】

試題分析：（1）求出導數及定義域，在定義域內解不等式得增區間，解不等式得減區間，同時可確定極值；（2）設，求出導數，研究的單調性，不等式恒成立，即的最小值非負，因此由導數求得的最小值，由于，因此當時，單調遞增，不合題意（），時，，再由函數的單調性可得只有時，，從而確定．

試題解析：（1）注意到函數的定義域為,

當時,,若,則；若,則.

所以是上的減函數,是上的增函數,故,故函數的減區間為,增區間為,極小值為,無極大值.

（2）由（1）知,當時,時,是上的增函數,注意到時,,不合題意.當時,若；若.所以是上的減函數,是上的增函數,故只需.令,當時,

；當時,.所以是上的減函數,是上的增函數.

故當且僅當時等號成立. 即所求.