Question

已知圓C：（x-1）²+（y-2）²=25及直線l：（2m+1）x+（m+1）y=7m+4．（m∈R）
（1）證明：不論m取什么實數，直線l與圓C恒相交；
（2）求直線l與圓C所截得的弦長的最短長度及此時直線l的方程．

Answer 1

分析：（1）要證直線l無論m取何實數與圓C恒相交，即要證直線l橫過過圓C內一點，方法是把直線l的方程改寫成m（2x+y-7）+x+y-4=0可知，直線l一定經過直線2x+y-7=0和x+y-4=0的交點，聯立兩條直線的方程即可求出交點A的坐標，然后利用兩點間的距離公式求出AC之間的距離d，判斷d小于半徑5，得證；
（2）根據圓的對稱性可得過點A最長的弦是直徑，最短的弦是過A垂直于直徑的弦，所以連接AC，過A作AC的垂線，此時的直線與圓C相交于B、D，弦BD為最短的弦，接下來求BD的長，根據垂徑定理可得A是BD的中點，利用（1）圓心C到BD的距離其實就是|AC|的長和圓的半徑|BC|的長，根據勾股定理可求出

1

2

|BD|的長，求得|BD|的長即為最短弦的長；根據點A和點C的坐標求出直線AC的斜率，然后根據兩直線垂直時斜率乘積為-1求出直線BD的斜率，又直線BD過A（3，1），根據斜率與A點坐標即可寫出直線l的方程．

解答：解：（1）直線方程l：（2m+1）x+（m+1）y=7m+4，可以改寫為m（2x+y-7）+x+y-4=0，所以直線必經過直線2x+y-7=0和x+y-4=0的交點．由方程組

2x+y-7=0 x+y-4=0

解得

x=3 y=1

即兩直線的交點為A（3，1），
又因為點A（3，1）與圓心C（1，2）的距離d=

5

＜5，
所以該點在C內，故不論m取什么實數，直線l與圓C恒相交．
（2）連接AC，當直線l是AC的垂線時，此時的直線l與圓C相交于B、D．BD為直線l被圓所截得的最短弦長．此時，|AC|=

5

，|BC|=5，所以|BD|=2

25-5

=4

5

．即最短弦長為4

5

．
又直線AC的斜率kAC=-

1

2

，所以直線BD的斜率為2．
此時直線方程為：y-1=2（x-3），即2x-y-5=0．

點評：本題考查學生會求兩直線的交點坐標，會利用點到圓心的距離與半徑的大小比較來判斷點與圓的位置關系，靈活運用圓的垂徑定理解決實際問題，掌握兩直線垂直時斜率的關系，會根據斜率與一點坐標寫出直線的方程，是一道綜合題．