Question

【題目】某工廠某種產品的年固定成本為250萬元，每生產x千件，需另投入成本為C（x），當年產量不足80千件時，C（x）=（萬元）．當年產量不小于80千件時，C（x）=51x+（萬元）．每件商品售價為0.05萬元．通過市場分析，該廠生產的商品能全部售完．
（Ⅰ）寫出年利潤L（x）（萬元）關于年產量x（千件）的函數解析式；
（Ⅱ）年產量為多少千件時，該廠在這一商品的生產中所獲利潤最大？

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）∵每件商品售價為0.05萬元，
∴x千件商品銷售額為0.05×1000x萬元，
①當0＜x＜80時，根據年利潤=銷售收入﹣成本，
∴L（x）=（0.05×1000x）﹣﹣10x﹣250=+40x﹣250；
②當x≥80時，根據年利潤=銷售收入﹣成本，
∴L（x）=（0.05×1000x）﹣51x﹣+1450﹣250=1200﹣（x+）．
綜合①②可得，L（x）=．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，，
①當0＜x＜80時，L（x）=+40x﹣250=﹣，
∴當x=60時，L（x）取得最大值L（60）=950萬元；
②當x≥80時，L（x）=1200﹣（x+）≤1200﹣2=1200﹣200=1000，
當且僅當x=，即x=100時，L（x）取得最大值L（100）=1000萬元．
綜合①②，由于950＜1000，
∴當產量為100千件時，該廠在這一商品中所獲利潤最大，最大利潤為1000萬元．

【解析】（Ⅰ）分兩種情況進行研究，當0＜x＜80時，投入成本為C（x）=（萬元），根據年利潤=銷售收入﹣成本，列出函數關系式，當x≥80時，投入成本為C（x）=51x+ ， 根據年利潤=銷售收入﹣成本，列出函數關系式，最后寫成分段函數的形式，從而得到答案；
（Ⅱ）根據年利潤的解析式，分段研究函數的最值，當0＜x＜80時，利用二次函數求最值，當x≥80時，利用基本不等式求最值，最后比較兩個最值，即可得到答案．