Question

若△ABC的三邊長為連續三個正整數，且A＞B＞C，3b=20acos A，則sin A：sin B：sin C=

6：5：4

．

Answer 1

分析：由題意可得三邊即 a、a-1、a-2，由余弦定理表示出cosA再由3b=20acosA，可表示出cosA，從而列出關于a的方程，由此解得a=6，可得三邊長，根據sinA：sinB：sinC=a：b：c，求得結果．

解答：解：由于a，b，c 三邊的長為連續的三個正整數，且A＞B＞C，
可設三邊長分別為 a、a-1、a-2，
由余弦定理可得：cosA=

b2+c2-a2

2bc

=

(a-1)2+(a-2)2-a2

2(a-1)(a-2)

=

a-5

2(a-2)

，
又3b=20acosA，可得：cosA=

3b

20a

=

3a-3

20a

，
故有

a-5

2(a-2)

=

3a-3

20a

，
解得a=6，故三邊分別為6，5，4，
由正弦定理可得 sinA：sinB：sinC=a：b：c=a：（a-1）：（a-2）=6：5：4，
故答案為：6：5：4

點評：此題考查了正弦、余弦定理，熟練掌握定理是解本題的關鍵．