Question

一個口袋中裝有大小相同的n個紅球（n≥5且n∈N）和5個白球，一次摸獎從中摸兩個球，兩個球的顏色不同則為中獎．
（I）試用n表示一次摸獎中獎的概率p；
（II）記從口袋中三次摸獎（每次摸獎后放回）恰有一次中獎的概率為m，用p表示恰有一次中獎的概率m，求m的最大值及m取最大值時p、n的值；
（III）當n=15時，將15個紅球全部取出，全部作如下標記：記上i號的有i個（i=1，2，3，4），共余的紅球記上0號．并將標號的15個紅球放人另一袋中，現從15個紅球的袋中任取一球，ξ表示所取球的標號，求ξ的分布列、期望和方差．

Answer 1

解：（I）一次摸獎從n+5個球中任取兩個，有C_n+5²種方法，它們是等可能的，其中兩個球的顏色不同的方法有C_n¹C₅¹種，
∴一次摸獎中獎的概率P==；
（II）設每次摸獎中獎的概率為p（0＜p＜1），三次摸獎中（每次摸獎后放回）恰有一次中獎的概率是
m==3p³-6p²+3p（0＜p＜1）
求導數可得m′=3（p-1）（3p-1）
∴函數在（0，）上為增函數，在（，1）上為減函數
∴p=時，即=，即n=20時，m_max=；
（III）記上0號的有5個紅球，從中任取一球，有15種取法，它們是等可能的
故ξ的分布列是

ξ	0	1	2	3	4
P

∴Eξ=0×+1×+2×+3×+4×=2
Dξ=（0-2）²×+（1-2）²×+（2-2）²×+（3-2）²×+（4-2）²×=．
分析：（I）計算出從n+5個球中任取兩個的方法數和其中兩個球的顏色不同的方法，由古典概型公式，代入數據得到一次摸獎中獎的概率；
（II）求出三次摸獎中（每次摸獎后放回）恰有一次中獎的概率，利用導數確定函數的單調性，即可求出其最大值及相應的p值；
（III）記上0號的有5個紅球，從中任取一球，有15種取法，它們是等可能的，確定變量的取值，求出相應的概率，可得ξ的分布列、期望和方差．
點評：本題考查概率知識，考查學生的計算能力，求離散型隨機變量期望的步驟：①確定離散型隨機變量的取值；②寫出分布列，并檢查分布列的正確與否，即看一下所有概率的和是否為1；③求出期望．