Question

【題目】已知數列{an}滿足a1=1，an+1+an= ﹣ ，n∈N* ．
（Ⅰ）求a2 ， a3 ， a4；
（Ⅱ）猜想數列{an}的通項公式，并用數學歸納法證明．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）由題意a1=1，a2+a1= ，a3+a2= ﹣1，a4+a3=2﹣
解得：a2= ﹣1，a3= ﹣ ，a4=2﹣
（Ⅱ）猜想：對任意的n∈N*，an= ﹣ ，
當n=1時，由a1=1= ﹣ ，猜想成立．
假設當n=k （k∈N*）時，猜想成立，即
ak= ﹣
則由ak+1+ak= ﹣ ，得ak+1= ﹣ ，
即當n=k+1時，猜想成立，
由①、②可知，對任意的n∈N*，猜想成立，
即數列{an}的通項公式為an= ﹣
【解析】（Ⅰ）由數列{an}的遞推公式依次求出a2 ， a3 ， a4；（Ⅱ）根據a2 ， a3 ， a4值的結構特點猜想{an}的通項公式，再用數學歸納法①驗證n=1成立，②假設n=k時命題成立，證明當n=k+1時命題也成立
【考點精析】關于本題考查的數列的通項公式和數學歸納法的定義，需要了解如果數列an的第n項與n之間的關系可以用一個公式表示，那么這個公式就叫這個數列的通項公式；數學歸納法是證明關于正整數n的命題的一種方法才能得出正確答案．