Question

選修4-5：不等式選講已知實數a，b，c滿足a²+2b²+3c²=24
①求a+2b+3c的最值；
②若滿足題設條件的任意實數a，b，c，不等式a+2b+3c＞|x+1|-14恒成立，求實數x的取值范圍．

Answer 1

分析：①首先分析題目已知a²+2b²+3c²=24，求a+2b+3c的最大值，考慮到柯西不等式（a²+b²+c²）（x²+y²+z²）≥（ax+by+cz）²的應用，構造出柯西不等式求出（a+2b+3c）²的最大值開方即可得到答案．
②首先分析題目已知不等式a+2b+3c＞|x+1|-14恒成立，求x的取值范圍，即需要k小于|x+1|+|x-2|的最小值即可．由①分析得a+2b+3c的最小值，即|x+1|-14＜-1可得到答案．

解答：解：①因為已知a、b、c是實數，且a²+2b²+3c²=24
根據柯西不等式（a²+b²+c²）（x²+y²+z²）≥（ax+by+cz）²
故有（a²+2b²+3c²）（1²+(

2

) 2+（

3

）²）≥（a+2b+3c）²
故（a+2b+3c）²≤144，即|a+2b+3c|≤12
即a+2b+3c的最大值為12，a+2b+3c的最小值為-12；
②：已知不等式a+2b+3c＞|x+1|-14恒成立，即需要|x+1|-14小于a+2b+3c的最小值即可．
即|x+1|-14＜-12．解得：-2＜x+1＜2，-3＜x＜1
即：實數x的取值范圍（-3，1）．

點評：此題主要考查一般形式的柯西不等式的應用，對于此類題目很多同學一開始就想到應用球的參數方程求解，這個方法可行但是計算量較高，而應用柯西不等式求解較簡單，同學們需要很好的理解掌握．此題還考查不等式恒成立的問題．