Question

【題目】已知橢圓的離心率為，直線x+y+1=0與橢圓交于P、Q兩點，且OP⊥OQ，求該橢圓方程．

Answer 1

【答案】．

【解析】試題分析：

由離心率是可得，從而橢圓標準方程中只剩下一個參數，即方程為，接著可設直線與橢圓的交點為，由直線方程與橢圓方程聯立消去后可得，而即為，把剛才的代入可求得，得橢圓標準方程．

試題解析：

設P（x1，y1），Q（x2，y2），

∵，∴,∴，∴a2=4b2．

設橢圓方程，

聯立消y得5x2+8x+4﹣4b2=0，

∵直線x+y+1=0與橢圓交于P、Q兩點，∴△=64﹣4×5×（4﹣4b2）＞0，化為5b3＞1．

∴（*）

∵OP⊥OQ，∴ ，

∴x1x2+y1y2=0，∴x1x2+（x1+1）（x2+1）=0．

∴2x1x2+x1+x2+1=0，

把（*）代入可得，

解得，滿足△＞0．

∴．

∴橢圓方程為．