Question

【題目】甲、乙兩支排球隊進行比賽，約定先勝3局者獲得比賽的勝利，比賽隨即結束.除第五局甲隊獲勝的概率是外，其余每局比賽甲隊獲勝的概率都是.假設各局比賽結果相互獨立.

（1）分別求甲隊以3：0，3：1，3：2獲勝的概率；

（2）若比賽結果為3：0或3：1，則勝利方得3分、對方得0分；若比賽結果為3:2，則勝利方得2分、對方得1分.求甲隊得分X的分布列及數學期望.

Answer 1

【答案】（1）， ， ；（2）詳見解析；

【解析】試題分析：（1）甲隊獲勝有三種情形： ， ， ，其每種情形的最后一局肯定是甲隊獲勝，粉筆求出相應的概率，即可得到結果；（2）的取值可能為，然后利用相互獨立事件的概率乘法公式求解相應的概率，列出分布列，最后根據期望的公式即可求解數學期望．

試題解析：（1）記“甲隊以3∶0勝利”為事件A1，“甲隊以3∶1勝利”為事件A2，

“甲隊以3∶2勝利”為事件A3，

由題意知，各局比賽結果相互獨立，

故P(A1)＝，

P(A2)＝，

P(A3)＝.

所以甲隊以3∶0勝利、以3∶1勝利的概率都為，以3∶2勝利的概率為.

（2）設“乙隊以3∶2勝利”為事件A4，

由題意知，各局比賽結果相互獨立，

所以P(A4)＝.

由題意知，隨機變量X的所有可能的取值為0,1,2,3，

根據事件的互斥性得

P(X＝0)＝P(A1＋A2)＝P(A1)＋P(A2)＝.

又P(X＝1)＝P(A3)＝，

P(X＝2)＝P(A4)＝，

P(X＝3)＝1－P(X＝0)－P(X＝1)－P(X＝2)＝，

故X的分布列為

所以E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝.