Question

【題目】已知橢圓:的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4，左、右頂點(diǎn)分別為，經(jīng)過點(diǎn)的動(dòng)直線與橢圓相交于不同的兩點(diǎn)（不與點(diǎn)重合）.

（1）求橢圓的方程及離心率；

（2）求四邊形面積的最大值；

（3）若直線與直線相交于點(diǎn)，判斷點(diǎn)是否位于一條定直線上？若是，寫出該直線的方程. （結(jié)論不要求證明）

Answer 1

【答案】（Ⅰ） ，離心率 （Ⅱ） （Ⅲ）

【解析】

（Ⅰ）由題意可知：m＝1，可得橢圓方程，根據(jù)離心率公式即可求出

（Ⅱ）設(shè)直線CD的方程，代入橢圓方程，根據(jù)韋達(dá)定理，由SACBD＝S△ACB+S△ADB，換元，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性即可求得四邊形ACBD面積的最大值．

（Ⅲ）點(diǎn)M在一條定直線上，且該直線的方程為x＝4

（Ⅰ）由題意，得 , 解得.

所以橢圓方程為.

故，，.

所以橢圓的離心率.

（Ⅱ）當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，由題意，得的方程為，

代入橢圓的方程，得，，

又因?yàn)?/span>，，

所以四邊形的面積.

當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)的方程為，，，

聯(lián)立方程 消去，得.

由題意，可知恒成立，則，

四邊形的面積

，

設(shè)，則四邊形的面積，，

所以.

綜上，四邊形面積的最大值為.

（Ⅲ）結(jié)論：點(diǎn)在一條定直線上，且該直線的方程為.