Question

（本小題滿分14分）
如圖，矩形ABCD中，AD⊥平面ABE，AE=EB=BC，F為CE上的點，且BF⊥平面ACE.

（1）求證：AE⊥平面BCE；
（2）求證：AE∥平面BFD.

Answer 1

證明：見解析。

(I)證明:因為即可.
(II)設BD與AC的交點為H,連接HF,則HF//AE,從而問題得證.
證明：
（1）AD⊥平面ABE，AE平面ABE，∴AD⊥AE，
在矩形ABCD中，有AD∥BC，∴BC⊥AE.
∵BF⊥平面ACE，AE平面ABE，∴BF⊥AE，
又∵BFBC=B，BF，BC平面BCE，
∴AE⊥平面BCE.（7分）
（2）設ACBD=H，連接HF，則H為AC的中點.
∵BF⊥平面ACE，CE平面ABE，∴BF⊥CE，
又因為AE=EB=BC，所以F為CE上的中點.
在△AEC中，FH為△AEC的中位線，則FH∥AE
又∵AE平面BFE，而FH平面BFE
∴AE∥平面BFD.（14分）