Question

【題目】甲，乙兩人進(jìn)行拋硬幣游戲，規(guī)定：每次拋幣后，正面向上甲贏，否則乙贏.此時(shí)，兩人正在游戲，且知甲再贏(常數(shù))次就獲勝，而乙要再贏(常數(shù))次才獲勝，其中一人獲勝游戲就結(jié)束.設(shè)再進(jìn)行次拋幣，游戲結(jié)束.

（1）若，，求概率；

（2）若，求概率的最大值(用表示).

Answer 1

【答案】（1）.（2）

【解析】

（1）根據(jù)比賽4次結(jié)束，可知甲、乙兩人獲勝次數(shù)之比可能是：2：2且最后一次甲勝或者1：3且最后一次乙勝，利用獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)公式可求結(jié)；

（2）先表示出，構(gòu)造函數(shù)，作商比較，判斷出單調(diào)性，結(jié)合單調(diào)性可得最大值.

（1）依題意，游戲結(jié)束時(shí)，甲、乙兩人獲勝次數(shù)之比可能是：2：2且最后一次甲勝或者1：3且最后一次乙勝，

.

（2）依題意，.

設(shè)

則.

而 (*)

.(#)

因?yàn)?/span>的判別式

(顯然在時(shí)恒成立)，

所以.

又因?yàn)?/span>，所以(#)恒成立，從而(*)成立.

所以，即(當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取“=”)，

所以的最大值為，

即的最大值為.