Question

已知函數f（x）=ae^x，g（x）=lnx-lna其中a為常數，e=2.718K，函數y=f（x）和y=g（x）的圖象在它們與坐標軸交點處的切線分別為l₁，l₂，且l₁∥l₂
（Ⅰ）求常數a的值及l(fā)₁，l₂的方程；
（Ⅱ）求證：對于函數f（x）和g（x）公共定義域內的任意實數x，有|f（x）-g（x）|＞2；
（Ⅲ）若存在x使不等式

x-m

f(x)

＞

x

成立，求實數m的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先求出函數與坐標軸的交點，再利用導數的幾何意義，求出兩條切線的斜率，根據l₁∥l₂，列出方程，求解即可得到常數a的值及l(fā)₁，l₂的方程；
（Ⅱ）構造函數n（x）=e^x-x-1，利用導數判斷出函數n（x）的單調性，從而得到e^x-1＞x，再構造函數m（x）=lnx-x+1，利用導數求出m（x）的取值范圍，即可得到lnx+1＜x，從而得到e^x-lnx＞2，即可證明出對于函數f（x）和g（x）公共定義域內的任意實數x，有|f（x）-g（x）|＞2；
（Ⅲ）將不等式

x-m

f(x)

＞

x

轉化成m＜x-

x

ex，從而轉化成求h(x)=x-

x

ex的取值范圍，利用導數求出h(x)=x-

x

ex的取值范圍，即可得到實數m的取值范圍．

解答：解：（Ⅰ）f（x）=ae^x與坐標軸的交點為（0，a），
∴f（x）在交點（0，a）處切線的斜率為f'（0）=a，
g（x）=lnx-lna與坐標軸交點為（a，0），
∴g（x）在交點（a，0）處切線的斜率為g′(a)=

1

a

，
∵l₁∥l₂，
∴a=

1

a

，解得a=±1，又a＞0，
∴a=1，
∴l(xiāng)₁方程為：y=x+1，l₂方程：y=x-1；
（Ⅱ）函數f（x）和g（x）公共定義域為（0，+∞），
∵|f（x）-g（x）|=|e^x-lnx|=e^x-lnx，
∴令n（x）=e^x-x-1，則n'（x）=e^x-1＞0，
∴n（x）在（0，+∞）上是增函數，
∴n（x）＞n（0）=0，
∴e^x-1＞x，①
令m（x）=lnx-x+1，則m′(x)=

1

x

-1，
當x＞1時，m'（x）＜0，當0＜x＜1時，m'（x）＞0，
∴m（x）有最大值m（1）=0，
∴l(xiāng)nx+1＜x，②
由①②，得e^x-1＞x＞lnx+1，即e^x-1＞lnx+1，
∴e^x-lnx＞2，
∴|f（x）-g（x）|＞2，
故對于函數f（x）和g（x）公共定義域內的任意實數x，有|f（x）-g（x）|＞2；
（Ⅲ）不等式

x-m

f(x)

＞

x

可轉化為m＜x-

x

ex，
令h(x)=x-

x

ex，則h′(x)=1-(

1

2 x

+

x

)ex，
∵x＞0，
∴

1

2 x

+

x

≥

2

，又e^x＞1，
∴h'（x）＜0，
∴h（x）在（0，+∞）是減函數，
∴h（x）＜h（0）=0，
∴實數m的取值范圍是（-∞，0）．

點評：本題考查了利用導數研究曲線上某點切線方程，考查了恒成立問題，對于恒成立問題一般選用參變量分離法轉化成求函數的最值進行求解，最值的求解是應用了導數求最值．對于不等式的證明關鍵在于如何構造函數，轉化為求函數的值域問題．屬于中檔題．