Question

如圖，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝a，又PA⊥平面ABCD，PA＝4．     
（Ⅰ）若在邊BC上存在一點(diǎn)Q，使PQ⊥QD，求a的取值范圍；
（Ⅱ）當(dāng)邊BC上存在唯一點(diǎn)Q，使PQ⊥QD時(shí)，求二面角A－PD－Q的余弦值．

Answer 1

（1）
（2）二面角A－PD－Q的余弦值為

解法1：（Ⅰ）如圖，連，由于PA⊥平面ABCD，則由PQ⊥QD，必有．

設(shè)，則，
在中，有．
在中，有．    ……4分
在中，有．
即，即．
∴．
故的取值范圍為．……6分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，當(dāng)，時(shí)，邊BC上存在唯一點(diǎn)Q（Q為BC邊的中點(diǎn)），
使PQ⊥QD．                                                 
過Q作QM∥CD交AD于M，則QM⊥AD．
∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥QM．∴QM⊥平面PAD．
　過M作MN⊥PD于N，連結(jié)NQ，則QN⊥PD．
　　∴∠MNQ是二面角A－PD－Q的平面角．                      ……10分
在等腰直角三角形中，可求得，又，進(jìn)而．
∴．
故二面角A－PD－Q的余弦值為．   ……12分
解法2：（Ⅰ）以為x．y．z軸建立如圖的空間直角坐標(biāo)系，則
B（0，2，0），C（a，2，0），D（a，0，0），
P（0，0，4），                     ……2分
設(shè)Q（t，2，0）（），則 ＝（t，2，－4），
＝（t－a，2，0）．              ……4分
∵PQ⊥QD，∴＝0．
即．
∴．
故的取值范圍為．         ……6分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，當(dāng)，時(shí)，邊BC上存在唯一點(diǎn)Q，使PQ⊥QD．
此時(shí)Q（2，2，0），D（4，0，0）．                               
設(shè)是平面的法向量，
由，得．
取，則是平面的一個法向量．                 
而是平面的一個法向量，                       ……10分
由．
　　∴二面角A－PD－Q的余弦值為．                        ……12分