Question

【題目】若函數f（x）滿足：f（|x|）＝|f（x）|，則稱f（x）為“對等函數”，給出以下三個命題：

①定義域為R的“對等函數”，其圖象一定過原點；

②兩個定義域相同的“對等函數”的乘積一定是“對等函數”；

③若定義域是D的函數y＝f（x）是“對等函數”，則{y|y＝f（x），x∈D}{y|y≥0}；

在上述命題中，真命題的個數是（　　）

A.0B.1C.2D.3

Answer 1

【答案】B

【解析】

由對等函數的定義可判斷①②，舉反例說明③錯誤

①定義域為R的“對等函數”，可令x＝0，即f（0）＝|f（0）|，

解得f（0）＝0，或f（0）＝1，故①錯誤；

②兩個定義域相同的“對等函數”，設y＝f（x）和y＝g（x）均為“對等函數”，

可得f（|x|）＝|f（x）|，g（|x|）＝|g（x）|，

設F（x）＝f（x）g（x），即有F（|x|）＝f（|x|）g（|x|）＝|f（x）g（x）|＝|F（x）|，

則乘積一定是“對等函數，故②正確”；

③若定義域是D的函數y＝f（x）是“對等函數”，可得f（|x|）＝|f（x）|，

可取f（x）＝x|x|，x∈R，可得x≥0時，f（x）≥0；x＜0時，f（x）＜0，故③錯誤．

故選：B．