Question

【題目】已知離心率為的橢圓的左頂點為，左焦點為，及點，且、、成等比數列．

（1）求橢圓的方程；

（2）斜率不為的動直線過點且與橢圓相交于、兩點，記，線段上的點滿足，試求（為坐標原點）面積的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）；（2）．

【解析】

（1）由題意可得出關于、的方程組，可求出、的值，進而可求得的值，由此可得出橢圓的方程；

（2）解法一：設點、、，將點、的坐標代入橢圓的方程，變形后相減可得，再由、，經過向量的坐標運算求得，由點在橢圓內得到，再由三角形的面積公式可求得面積的取值范圍；

解法二：設點、、，由、，根據向量的坐標運算得出，設直線的方程為，與橢圓的方程聯立，由得出的取值范圍，由代入韋達定理并消去，得出，進而得出，再由三角形的面積公式可求得面積的取值范圍；

解法三：設直線的方程為，與橢圓的方程聯立，由得出的取值范圍，并列出韋達定理，利用向量的線性運算可得出，并求出原點到直線的距離，利用三角形的面積公式可求得面積的取值范圍.

（1）依題意，解得，，

所以橢圓的方程是；

（2）解法一：

設、、，則，

相減得：，

又由，知，，

由，知，，

代入式得：，即，

又因為點在橢圓內，所以，

所以的面積；

解法二：設，，，則，，

設直線的方程為，代入橢圓的方程得：

，由得，．

所以，消去得到，

所以，

因此的面積；

解法三：設直線的方程為，代入橢圓的方程得：

，由得，．

所以，，

，

原點到直線的距離，

所以的面積，

因為，所以．