Question

已知函數 (R)．
(1) 當時，求函數的極值；
（2）若函數的圖象與軸有且只有一個交點，求a的取值范圍．

Answer 1

（Ⅰ）當時, 取得極大值為;當時, 取得極小值為-6.（Ⅱ）a的取值范圍是．

（1）當時，，
∴.                    
令="0," 得.                                   …… 2分                   
當時,, 則在上單調遞增;
當時,, 則在上單調遞減;
當時,, 在上單調遞增.                     
∴當時, 取得極大值為;
當時, 取得極小值為.       …… 5分
（2） ∵= ，
∴△= =  .                             
①若a≥1，則△≤0，                                          …… 6分
∴≥0在R上恒成立，
∴f（x）在R上單調遞增 .                                                   
∵f（0），,                  
∴當a≥1時，函數f（x）的圖象與x軸有且只有一個交點．       …… 8分 
②若a＜1，則△＞0，
∴= 0有兩個不相等的實數根，不妨設為x₁，x₂，（x₁<x₂）．
∴x₁+x₂ = 2，x₁x₂ = a．  
當變化時，的取值情況如下表：                       

x		x1	（x1，x2）	x2
	+	0	－	0	+
f（x）	↗	極大值	↘	極小值	↗

                              …… 9分
∵,
∴.
∴


.
同理.
∴


.
令f（x₁）·f（x₂）＞0, 解得a＞．                                    
而當時,,
故當時,函數f（x）的圖象與x軸有且只有一個交點.        …… 11分                            
綜上所述，a的取值范圍是．                               …… 12分