Question

已知函數f （x+1）是奇函數，f （x-1）是偶函數，且f （0）=2，則f （2012）=（　　）

A．-2

B．0

C．2

D．3

Answer 1

分析：先根據函數f（x+1）為奇函數得到f（x+1）=-f（-x+1）；再結合函數f（x-1）是偶函數得到f（x-1）=f（-x-1），聯立可求函數的周期，然后把所求的f（2012）轉化可求即可得到答案．

解答：解：因為函數f（x+1）為奇函數
所以有：f（x+1）=-f（-x+1）
令t=x+1可得f（t）=-f（2-t）
∵函數f（x-1）是偶函數
∴f（x-1）=f（-x-1），令x-1=t，則可得，f（t）=f（-t-2）
∴f（-t-2）=-f（-t+2）
令-t-2=m，則f（m）=-f（m+4），f（m+8）=f（m）即函數以8為周期的周期函數
∴f（2012）=f（4）=-f（0）=-2
故選A

點評：本題主要考查函數奇偶性的應用．解決問題的關鍵在于根據函數f（x+1）為奇函數得到f（x+1）=-f（-x+1）；再結合函數f（x-1）是偶函數得到f（x-1）=f（-x-1）求解出函數的周期