Question

已知二次函數f（x）=ax²+bx+c（a，b，c均為實數），滿足a-b+c=0，對于任意實數x 都有f （x）-x≥0，并且當x∈（0，2）時，有f （x）≤(

x+1

2

)2．
（1）求f （1）的值；
（2）證明：ac≥

1

16

；
（3）當x∈[-2，2]且a+c取得最小值時，函數F（x）=f （x）-mx （m為實數）是單調的，求證：m≤-

1

2

或m≥

3

2

．

Answer 1

分析：（1）根據x≤f （x）≤(

x+1

2

)2，令x=1，得到1≤f （1）≤(

1+1

2

)2，進而確定f（1）的值．
（2）由a-b+c=0及f （1）=1得b=a+c=

1

2

，則f（x）-x≥0，即ax²-

1

2

x+c≥0，只需滿足a＞0且△≤0．從而得出ac≥

1

16

；
（3）a+c取得最小值時，a=c=

1

4

，，F（x）=f（x）-mx=

1

4

[x²+（2-4m）x+1]．由f（x）是單調的，F（x）的頂點一定在[-2，2]的外邊．推出|

2-4m

2

|≥2，解得m的范圍即可．

解答：解：（1）∵對于任意x∈R，都有f（x）-x≥0，且當x∈（0，2）時，
有f（x）≤(

x+1

2

)2．令x=1
∴1≤f（1）≤(

1+1

2

)2．
即f （1）=1．
（2）由a-b+c=0及f （1）=1．
有

a-b+c=0 a+b+c=1

，可得b=a+c=

1

2

．
又對任意x，f（x）-x≥0，即ax²-

1

2

x+c≥0．
∴a＞0且△≤0．
即

1

4

-4ac≤0，解得ac≥

1

16

．
（3）由（2）可知a＞0，c＞0．
a+c≥2

ac

≥2•

1 16

=

1

2

．
當且僅當

a=c a+c= 1 2

時等號成立．此時
a=c=

1

4

．
∴f （x）=

1

4

x²+

1

2

x+

1

4

，
F （x）=f （x）-mx=

1

4

[x²+（2-4m）x+1]．
當x∈[-2，2]時，f （x）是單調的，所以F （x）的頂點一定在[-2，2]的外邊．
∴|

2-4m

2

|≥2．
解得m≤-

1

2

或m≥

3

2

．

點評：本題考查了二次函數的性質，函數的恒成立問題，以及不等式的證法，屬于中檔題．