Question

【題目】如圖所示，四棱錐的底面為直角梯形， ．點是的中點．

（Ⅰ）求證： 平面；

（Ⅱ）已知平面底面，且．在棱上是否存在點，使？請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析.

【解析】試題分析：（1）取中點，連接，證明四邊形為平行四邊形，由此得到，即可證得線面平行.（2）為的中點，連接，利用等腰三角形可知，易證得，故平面，所以.

試題解析：

（1）證明：取PD中點Q，連結AQ、EQ．∵E為PC的中點，∴EQ∥CD且EQ=CD．…

又∵AB∥CD且AB=CD，∴EQ∥AB且EQ=AB．…∴四邊形ABED是平行四邊形，

∴BE∥AQ．…又∵BE平面PAD，AQ平面PAD，

∴BE∥平面PAD．

（2）解：棱PD上存在點F為PD的中點，使CF⊥PA，

∵平面PCD⊥底面ABCD，平面PCD∩底面ABCD=CD，AD⊥CD，

∴AD⊥平面PCD，∴DP是PA在平面PCD中的射影，

∴PC=DC，PF=DF，∴CF⊥DP，∴CF⊥PA．