Question

已知圓方程為：x²+y²=4．
（Ⅰ）直線L過點P（1，2），且與圓C交于A、B兩點，若|AB|=2

3

，求直線L方程．
（Ⅱ）過圓C上一動點M作平行于X軸的直線m，設m與y軸交點為N，若向量

OQ

=

OM

+

ON

（O為原點），求動點Q軌跡方程．

Answer 1

分析：（I）分類討論：直線L的斜率不存在時，方程為x=1，直接解出看是否滿足|AB|=2

3

即可．當直線L的斜率存在時，設直線L的斜率為，則方程為：y-2=k（x-1），利用點到直線的距離距離公式可得圓心到直線L的距離d，利用弦長公式可得|AB|=2

r2-d2

，即可得到k．
（II）設Q（x，y），M（s，t），則N（0，t），由于向量

OQ

=

OM

+

ON

（O為原點），利用向量相等可得

x=s+0=s y=2t

，解出s，t再代入圓的方程即可．

解答：解：（I）①直線L的斜率不存在時，方程為x=1，代入圓的方程：1+y²=4，解得y=±

3

，滿足|AB|=2

3

，此時：直線L的方程為，x=1．
②直線L的斜率存在時，設直線L的斜率為，則方程為：y-2=k（x-1），kx-y+2-k=0．
圓心到直線L的距離d=

|2-k|

k2+1

，
∵|AB|=2

3

，∴2

3

=2

r2-d2

，
∴

3

=

4-( 2-k k2+1 )2

，化為4k=3，解得k=

3

4

，
此時方程為：

3

4

x-y+2-

3

4

=0，化為3x-4y+5=0．
綜上可知：直線L的方程為x=1或3x-4y+5=0．
（II）設Q（x，y），M（s，t），則N（0，t），s²+t²=4．（*）
∵向量

OQ

=

OM

+

ON

（O為原點），∴

x=s+0=s y=2t

，
解得

s=x t= 1 2 y

，代入（*）得x2+

y2

4

=4，化為

x2

4

+

y2

16

=1．
因此動點Q軌跡方程為：

x2

4

+

y2

16

=1．

點評：本題考查了直線與圓相交的弦長問題、弦長公式、點到直線的距離公式、“代點法”、分類討論等基礎知識與基本技能方法，屬于中檔題．