Question

如圖,在斜三棱柱中,側面⊥底面,側棱與底面成60°的角,.底面是邊長為2的正三角形,其重心為點,是線段上一點,且.
 
(1)求證://側面;
(2)求平面與底面所成銳二面角的余弦值;

Answer 1

(1)詳見解析；(2).

試題分析：解法1：（1）延長交于點,根據，,利用相似三角形的比例關系，即可證得直線與直線平行，再運用線面平行的判定定理，即可證得結論；
解法2：（1）建立空間直角坐標系，求出側面的法向量和向量，判斷法向量和向量
垂直，即可證得結論；
（2）求出兩個半平面的法向量，利用向量的數量積，求出法向量的夾角的余弦值，再利用法向量的夾角與二面角的平面角之間的關系，即可求得答案；
試題解析：解法1:(1)延長B₁E交BC于點F,
∽△FEB,BE=EC₁,∴BF=B₁C₁=BC,
從而點F為BC的中點.
∵G為△ABC的重心,∴A、G、F三點共線.且,
又GE側面AA₁B₁B,∴GE//側面AA₁B₁B.    5分
(2)∵側面AA₁B₁B⊥底面ABC,側棱AA₁與底面ABC成60°的角,∴∠A₁AB=60°,
又AA₁=AB=2,取AB的中點O,則AO⊥底面ABC.
以O為原點建立空間直角坐標系O—如圖,

則,,,,,.
∵G為△ABC的重心,∴.,∴,
∴.又GE側面AA₁B₁B,∴GE//側面AA₁B₁B.    6分
(2)設平面B₁GE的法向量為,則由得
可取又底面ABC的一個法向量為
設平面B₁GE與底面ABC所成銳二面角的大小為,則.
故平面B₁GE與底面ABC成銳二面角的余弦值為.    12分